Twitterで見つけた数学の問題

最初のネタとして、twitterで見つけた問題を解いてみる。

「複素数z（ゼット）が｜z｜=1かつ｜1＋ｚ＋z^2＋…＋z^2n｜=1（nは正の整数）をみたすとき、（1）1＋z＋z^2＋…＋z^2n=±z^n　であることを示せ。（2）このようなzを全て求めよ。^2nは2n乗」

問題(1)
等比級数の公式より、

｜1＋ｚ＋z^2＋…＋z^2n｜=｜1-ｚ＾(2n+1)｜/｜1-ｚ｜=1

であり、従って、

｜1-ｚ＾(2n+1)｜=｜1-ｚ｜　　①

となる。式①を、ガウス平面上で考えてみる。｜z｜=1だから、zおよびｚ＾(2n+1)は原点を中心とする単位円周上の点。式①の右辺は点zと1を結ぶ弦Aの長さに等しい。同様に、左辺は、点z＾(2n-1)と1を結ぶ弦Bの長さ。明らかに、弦Aと弦Bが等しくなるためには、ｚ＾(2n+1)がzまたはその共役複素数z*に等しくなければならない。

(i) z=ｚ＾(2n+1)のとき、この両辺をzで割り、変形すると、

1 = ｚ＾2n = (z^n)^2　　②

となるが、左辺と右辺から、

z^n=±1 ③

となる。これらの結果を用いて問題(1)の式を計算する。

1＋z＋z^2＋…＋z^2n={1-ｚ＾(2n+1)}/(1-ｚ)
= {1-(ｚ＾2n)z)}/(1-ｚ)
= (1-z)/(1-z)
= 1 = ±z^n ④

(ii) z*=ｚ＾(2n+1)のとき、両辺にzをかけると、

z*z = z^(2n+2)

となるが、左辺は｜z｜^2 =1に等しいから、結局、

1 = z^(2n+2) = {z^(n+1)}^2 ⑤

が言える。また、この左辺と右辺から、z^(n+1) =±1 となるので、両辺をzで割り、

z^n= ±1/z

が得られる。(i)と同様に問題(1)の式を計算すると、

1＋z＋z^2＋…＋z^2n={1-ｚ＾(2n+1)}/(1-ｚ)
= {z-(ｚ＾2n+2))}/(1-ｚ)z
= (z-1)/(1-z)z
= -1/z = ±z^n ⑥

(iii) ④と⑥から、複素数z（ゼット）が｜z｜=1かつ、ある正の整数nに対し｜1＋ｚ＋z^2＋…＋z^2n｜=1をみたすとき、常に1＋z＋z^2＋…＋z^2n=±z^n　となることが示された。（証明終わり）

問題(2)
式②および⑤の左辺と中辺から、zは、「1のすべての偶数乗根」であることが分かる。ただし、1の任意の奇数(k)乗根は、1の2k乗根の１つであるので、「1のすべてのk乗根(kは任意の正の整数)」と言っても同じことである。

式で書けば、z=exp{iπa/b} (a,bは任意の正の整数)となる。

「2.docx」をダウンロード