Twitterで見つけた数学の問題(続き)

出題者である左巻健男先生の解答（の一部）：”(2)の答えの１つは、z＝cos2kπ/n　＋i sin2kπ/n 　（k＝1，2，…,n-1）あと３つ”

ああそうか。(2)は、zを、各nに対して示さなければならなかった。それと、z=1のときは等比級数の公式が使えないから、別に考えないといけない。

z=1のときは、｜1＋ｚ＋z^2＋…＋z^2n｜=n(2n+1)で、明らかに解でない。

(2)の解答を、前の記事の②⑤式（どちらも右辺略）

1 = ｚ＾2n 　　②
1 = z^(2n+2) ⑤

に戻って引き続き考えてみる。②⑤の解は、各々、1の2n乗根と(2n+2)乗根

z=exp(2πip/2n) (p=0,1,2,3,・・・2n-1)　　⑦
z=exp｛2πiq/(2n+2)｝ (q=0,1,2,3,・・・2n+1)　　⑧

であるが、z=1に相当するp=0とq=0は除外しなければならない。従って、結局、

z=exp(2πip/2n) (p=1,2,3,・・・2n-1)　　⑦’
z=exp｛2πiq/(2n+2)｝ (q=1,2,3,・・・2n+1)　　⑧’

これらの指数部を2で約分した形を解答としても良いと思うが、左巻先生の解答と比較できるようにもう少し変形してみる。

⑦’で、p=2k, 2k+1 (ただしk=1,2,・・・(n-1))とおいて、pが偶数の時と奇数の時で場合分けすると、各々、

z=exp(2πik/n) (k=1,2,3,・・・(n-1))　 ⑨
z=exp{2πi(2k+1)/2n} =exp{πi(2k+1)/n} (k=1,2,3,・・・(n-1)) ⑩

となる。同様にして、⑧’でq=2k, 2k+1 (ただしk=1,2,・・・n)とおくと、

z=exp｛2πik/(n+1)｝ (k=1,2,3,・・・n)　　⑪
z=exp｛2πi(2k+1)/(2n+2)｝=exp｛πi(2k+1)/(n+1)｝ (k=1,2,3,・・・n)　

が得られる。

⑨が左巻先生の解答の偏角表示であり、⑩～⑫が残り３つの解であろう。あと、オイラーの公式を使えば、三角関数で表示することができるが、自明であろうから省略する。

（追記）よくみると、場合分けのケアレスミスでkの範囲が少し違っている。もう面倒なので訂正しないが、参照する人は留意してください。